1987年10月19日“黑色星期一”，灾难突然降临，美国标准普尔500指数下跌超过20%。一天之内，一万亿美元的美国股票市值灰飞烟灭。

从1927年到2012年，美国标准普尔500指数单日变化的标准差约为1.2%左右。如果用这个数据衡量，按照高斯正态分布，1987年的股灾是一个19个Sigma的事件，在我们存在的宇宙是不可能发生的。即使按照“黑天鹅”的幂律分布，这也是137年才会发生一次的事件。但灾难还是发生了。

从正态分布到“黑天鹅”的幂律分布，再到“龙王”。人们认为绝对不可能的事情却发生了，其可能性比预期的要高很多。如果仔细研究股市的长期变化，就会发现在“黑天鹅”理论的幂律分布之外，还存在着少数极值点，超越了幂律分布的范畴，已经无法用“黑天鹅”来解释。这就是“龙王”存在的空间。

如果把美国标准普尔500指数自1927年以来单日下跌的概率画到一张“对数-对数”坐标系的图中，就会发现明显的幂律分布，即从2个Sigma开始的一条斜线。这就是幂律分布在“对数-对数”坐标系下的体现。而在幂律分布的末端，有几个明显的Outlier，这些都是历次股灾的“龙王”，如19个Sigma的1987年股灾，12个Sigma的1929年股灾。

“黑天鹅”和“龙王”到底是如何发生的？真的不可预测吗？答案就在于瞬时关联。“黑天鹅”也好，“龙王”也好，都不是孤立的事件，而是一系列强烈关联的事件，体现了正反馈的强大作用。什么时候股市可以预测？关键就在于股市变化前后关联的程度。如果股市每天的变化前后无关，如同扔硬币一样的几何布朗运动，那么股市无法预测。如果股市每天的变化前后产生了关联，即今天的股价变化将影响未来的股价变化，那么预测就是可能的。

“福无双至，祸不单行。” 这句话非常适合A股。过去10年，A股单日下跌超过2.2%的概率是9.88%，但是，如果已经发生了一次超过2.2%的单日下跌，第二天再次发生超过2.2%的条件概率是17.36%左右。很明显，股市发生了瞬时关联，市场不再有效。

在一个理想的有效市场，每日的股价涨跌都是独立的，就如抛硬币，每次的概率都是一样的。即使你连续抛出10个正面，第十一次是正面的概率仍然是50%，不会因为之前的结果而改变。这样的市场，涨跌变化符合高斯正态分布。但是，现实情况并不是如此，股市涨跌实际变化更近似幂律分布。研究显示，股市下跌的幅度在2个Sigma以上近似服从幂律分布，其系数为“3”，所以又称之为“立方幂律”。股市之所以符合幂律分布而不是高斯正态分布，我认为就是市场的瞬时关联。由于股市的参与者不是机械的硬币，而是受感情与潜意识主导的人，股市今天的波动会对未来的波动产生微妙的影响，具有正反馈的作用。这种正反馈的作用相对较弱，转瞬即逝，但却足以改变股市变化的概率分布，从高斯正态分布变为幂律分布。

而那些超越了幂律分布的极值，其实是市场长时间关联，大范围无效的标志。研究表明，1987年的股灾，实际上是一个长达4年的资产泡沫的破裂。在股灾之前很长的时间里，股市都呈现强关联的状态，也就是说趋势非常明显。而在股灾之后，这种关联逐渐消失，回归正常的无关联状态。

非理性泡沫的出现，大范围偏离基本面的大涨大跌，体现了市场的大范围失灵。在泡沫期间，由于股市这个复杂系统的自组织，系统的一致性与协同性共同增强，股市的正反馈作用强烈而持久，让市场失效。正因为市场的失效，无法真正反映基本面信息，股价在强烈的正反馈作用下，产生了大范围、长时间的关联。这样一来，预测也就成为了可能。而LPPL模型就是一种预测泡沫的有效工具。

LPPL(Log-Periodic Power Law)模型（对数周期性幂律模型）为什么能很好的描述并预测泡沫期间股市的变化？这仅仅是在数学上的巧合吗？其内在原理是什么？答案就在于分形层级结构。

在传统的欧几里德几何，维度的表达为X^n, n=1,2,3...；维度是正整数。在欧几里德空间中，具有平移不变的特征。在分形几何中，维度的表达为X^(1-d), d可以是正实数，如1.5，2.7等。在分形结构中，存在着连续尺度不变的特征，其数学表达是幂律。而分形层级结构则如同俄罗斯套娃娃一样，一层套一层，是一种较弱的对称形式，具有离散尺度不变的特征，其数学表达是X^z, z为复数，即指数为复数的幂律。在复数空间，这样的表达体现为一条螺旋曲线。而在实数轴的映射就呈现对数周期（Log-Periodic）特性，这就是LPPL的来历。

股市，与自然界和人类社会一样存在分形层级结构。人类的社会网络，股市参与者组成的网络，都是典型的分形层级结构。这些结构的标志性数学特点就是LPPL。这些分形层级结构具有天然的对称性。“对称”的深刻含义在于，宇宙中的对称，并不仅是左右上下，而且还是不同层次的对称，从微观到宏观，从时间到空间，由最简单的形状构成最复杂的形态，形成完美而对称的分形层级结构。“To see a world in a grain of sand And a heaven in a wild flower，Hold infinity in the palm of your hand And eternity in an hour. ” --- William Blake “一沙一世界，一花一天国。无穷于掌中，永恒在瞬间。” 宇宙的对称之美，全在其中。LPPL只不过忠实的体现了这种结构的特点。

（以上图片来自Wikipedia）

但是，仅仅存在对称分形层级结构并不一定导致泡沫并出现“龙王”。根据Sornette教授的“龙王”理论，极端事件的发生有两个条件：系统的一致性与协同性。当系统的一致性非常强时，黑天鹅式的极端事件容易发生。当系统的一致性和协同性同时加强时，如复杂系统自组织所产生的强烈正反馈，才会发生超越“黑天鹅”的更极端的“龙王”事件。“龙王”其实深藏于自然与社会的深层次结构之中，而不是来自外部。“龙王”的爆发，有明显的征兆，而且后果极其严重。怀怒未发，休祲降于天。龙王之怒，伏尸百万，流血千里。