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都说A股是赌场,但是赌也是有学问的。凯利公式就是这样一种学问。这个公式要解决的是赌博者多次下注时每次投入本金的最佳百分比。利用这个最佳百分比,赌博者可以获得最大的财富增长。

假设用投掷硬币的方式赌博。正面赢,获得下注的等额回报。反面输,损失全部下注。假设正面的概率为p,反面的概率为q,每次下注占本金的比例为f,原始本金为x,每次下注则为xf。那么选取什么样的f值能让n次投注后的财富增长最多呢?这就是凯利公式要解决的问题。

从上图可以看出经过n次投注后赌博者所剩的财富的公式。而我们需要找到一个最佳的f值,让这个n次投注后的终值与最初的x值的比例最大。这个比例可以稍加变换:

实际上就变成了求下面这个公式的最大值:


根据大数定律,可以进一步转换为:

取一阶导数,并令其等于零,则可以得出最佳的投注比例:

为了数学上的严谨性,我们还要看二阶导数:

由于二阶导数小于零,所以一阶导数在[0,1)区间是严格单调下降的。由于在原点处一阶导数大于零,在f趋近1时一阶导数趋近负无穷。由于一阶导数的连续性,当f =p - q 的最佳投注比例时,财富增长存在一个唯一的最大值。

上面的情况是最简单的,赔率为1。另外,还可以有更复杂的,如赔率为b的情况(输掉全部投注,赢得投注的b倍的奖金)。另外,如果输的时候不输掉全部投注,只输掉c倍的投注,赢的时候赢得投注的b倍的奖金。这些都是凯利公式的变种。

值得注意的是,当输的时候只输掉一小部分,即c是很小的百分数,而赢的回报非常高,即b是一个大于1的数时,f值可以大于1,也就是说借钱赌才是最理性的。而且在这种情况下,即使赢的几率很小,远低于输的几率也没关系,借钱赌也是合理的,因为赢的回报远高于输的损失。这其实就是泡沫的一个内在原因之一。当输的损失不大,而赢的回报非常高,借钱去赌是一种理性的选择。虽然大家都知道泡沫不可持续,泡沫继续上涨的几率远低于下跌的几率,但是只要输的损失不大(如银行买单),赢的回报足够大,大家还是会趋之若鹜,疯狂推高泡沫。这其实是非理性中的理性选择。

虽然凯利公式非常有意义,但应用在股票中还要更复杂的计算,涉及到协方差。凯利公式的条件是各次投注是独立的事件,而股票市场的投资很难做到独立。而且,当投资的股票超过一个时,由于股票之间的相关性,就不能简单的应用凯利公式。对于没有复杂模型和大型计算机的普通投资者,基本面分析还是一切的基础。而且很多股票的投资回报的大小及概率还要依靠基本面分析。股票投资没有万能的公式。  

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Barrons

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404篇文章 8年前更新

“知之者不如好之者,好之者不如乐之者。”   乐于此,贝乐斯。 职业投资者,合伙人。

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